미적분 예제

$\int_{0}^{9} 0.5 x + \sin (2 x) + 3 d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{9} 0.5 x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

단계 2

$0.5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $0.5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$0.5 \int_{0}^{9} x d x + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$0.5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} \sin (2 x) d x + \int_{0}^{9} 3 d x$

단계 5

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 5.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 5.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 5.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 9$

단계 5.5

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 18$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 18$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \sin (u) \frac{1}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

단계 6

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{18} \frac{\sin (u)}{2} d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{18} \sin (u) d u + \int_{0}^{9} 3 d x$

단계 8

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + \int_{0}^{9} 3 d x$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$0.5 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

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단계 10.1

$9$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{18} + 3 x]_{0}^{9}$

단계 10.2

$18$ , $0$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$0.5 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 x]_{0}^{9}$

단계 10.3

$9$ , $0$ 일 때, $3 x$ 값을 계산합니다.

$0.5 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4

간단히 합니다.

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단계 10.4.1

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.3

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.3.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0.5 (\frac{81}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0.5 (\frac{81}{2} - 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0.5 (\frac{81}{2} + 0) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.5

$\frac{81}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0.5 (\frac{81}{2}) + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.6

$0.5$ 와 $\frac{81}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{0.5 \cdot 81}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.7

$0.5$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} ((- \cos (18)) + \cos (0)) + 3 \cdot 9 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.8

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 - 3 \cdot 0$

단계 10.4.9

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27 + 0$

단계 10.4.10

$27$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{40.5}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + 27$

단계 10.4.11

공통 분모를 가지는 분수로 $27$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + 27 \cdot \frac{2}{2}$

단계 10.4.12

$27$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5}{2} + \frac{27 \cdot 2}{2}$

단계 10.4.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 27 \cdot 2}{2}$

단계 10.4.14

$27$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{40.5 + 54}{2}$

단계 10.4.15

$40.5$ 를 $54$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + \cos (0)) + \frac{94.5}{2}$

단계 11

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (18) + 1) + \frac{94.5}{2}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\cos (18)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

단계 12.2

$- 1$ 에 $0.6603167$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- 0.6603167 + 1) + \frac{94.5}{2}$

단계 12.3

$- 0.6603167$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 0.33968329 + \frac{94.5}{2}$

단계 12.4

$\frac{1}{2}$ 와 $0.33968329$ 을 묶습니다.

$\frac{0.33968329}{2} + \frac{94.5}{2}$

단계 12.5

$0.33968329$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$0.16984164 + \frac{94.5}{2}$

단계 12.6

$94.5$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$0.16984164 + 47.25$

단계 12.7

$0.16984164$ 를 $47.25$ 에 더합니다.

$47.41984164$