미적분 예제

$\int_{0}^{π} {(1 + \sin (x))}^{2} d x$

단계 1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ 을 $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{π} (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) d x$

단계 1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{π} 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

단계 1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) d x$

단계 1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 1.5

$\sin (x)$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 1.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{π} 1 + 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 1.7

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 1.8

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) d x$

단계 1.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

단계 1.10

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

단계 1.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

단계 1.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{π} 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

단계 1.13

$\sin (x)$ 를 $\sin (x)$ 에 더합니다.

$\int_{0}^{π} 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

단계 5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

단계 6

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

단계 10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

단계 11

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 11.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 11.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 11.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 11.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 11.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 π$

단계 11.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

단계 11.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 12

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

단계 14

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$x]_{0}^{π} + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

단계 15

대입하여 간단히 합니다.

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단계 15.1

$π$ , $0$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$(π) + 0 + 2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

단계 15.2

$π$ , $0$ 일 때, $- \cos (x)$ 값을 계산합니다.

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

단계 15.3

$π$ , $0$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

단계 15.4

$2 π$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$π + 0 + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

단계 15.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.5.1

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

단계 15.5.2

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π + 2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

단계 16.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

단계 16.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

단계 16.4

$\sin (2 π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

단계 16.5

$\sin (2 π)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$π + 2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$π + 2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

단계 17.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$π + 2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

단계 17.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π + 2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

단계 17.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$π + 2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

단계 17.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$π + 2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

단계 17.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

단계 17.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.7.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

단계 17.7.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

단계 17.8

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π - 0)$

단계 17.9

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π + 4 + \frac{1}{2} (π + 0)$

단계 17.10

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π + 4 + \frac{1}{2} π$

단계 17.11

$\frac{1}{2}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$π + 4 + \frac{π}{2}$

단계 17.12

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

단계 17.13

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2} + 4$

단계 17.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \cdot 2 + π}{2} + 4$

단계 17.15

$π \cdot 2$ 를 $π$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.15.1

$π$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cdot π + π}{2} + 4$

단계 17.15.2

$2 \cdot π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$\frac{3 \cdot π}{2} + 4$

$\frac{3 π}{2} + 4$

단계 18

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3 π}{2} + 4$

소수 형태:

$8.71238898 \dots$