미적분 예제

$\int_{0}^{3} 35 x^{4} e^{x^{5}} d x$

단계 1

$35$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $35$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$35 \int_{0}^{3} x^{4} e^{x^{5}} d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = e^{x^{5}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 5 x^{4} e^{x^{5}} d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u_{2} = x^{4} e^{x^{5}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{2} = e^{x^{5}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$e^{x^{5}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

단계 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.1.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x^{5}} (5 x^{4})$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$e^{x^{5}} (5 x^{4})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$5 e^{x^{5}} x^{4}$

단계 2.1.4.2

$5 e^{x^{5}} x^{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$5 x^{4} e^{x^{5}}$

단계 2.2

$u_{2} = e^{x^{5}}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = e^{0^{5}}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = e^{0}$

단계 2.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u_{2} = e^{x^{5}}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = e^{3^{5}}$

단계 2.5

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$u_{upper} = e^{243}$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{243}$

단계 2.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$35 \int_{1}^{e^{243}} \frac{1}{5} d u_{2}$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$35 (\frac{1}{5} u_{2}]_{1}^{e^{243}})$

단계 4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1}{5}$ 와 $u_{2}$ 을 묶습니다.

$35 (\frac{u_{2}}{5}]_{1}^{e^{243}})$

단계 4.2

$e^{243}$ , $1$ 일 때, $\frac{u_{2}}{5}$ 값을 계산합니다.

$35 (\frac{e^{243}}{5} - \frac{1}{5})$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$35 \frac{e^{243}}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

단계 5.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$35$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$5 (7) \frac{e^{243}}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 \cdot 7 \frac{e^{243}}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

단계 5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$7 e^{243} + 35 (- \frac{1}{5})$

단계 5.3

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \frac{1}{5}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$7 e^{243} + 35 (\frac{- 1}{5})$

단계 5.3.2

$35$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$7 e^{243} + 5 (7) \frac{- 1}{5}$

단계 5.3.3

공약수로 약분합니다.

$7 e^{243} + 5 \cdot 7 \frac{- 1}{5}$

단계 5.3.4

수식을 다시 씁니다.

$7 e^{243} + 7 \cdot - 1$

단계 5.4

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$7 e^{243} - 7$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$7 e^{243} - 7$

소수 형태:

$2.39142707 \cdot 10^{106}$

단계 7