미적분 예제

$\int_{0}^{3} \frac{1}{9 - y^{2}} d y$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3^{2} - y^{2}}$

단계 1.1.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = y$ 입니다.

$\frac{1}{(3 + y) (3 - y)}$

단계 1.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{3 + y}$

단계 1.1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$

단계 1.1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(3 + y) (3 - y)$ 입니다.

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.5

$3 + y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (3 + y) (3 - y)}{(3 + y) (3 - y)} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.6

$3 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (3 - y)}{3 - y} = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{(A) (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$3 + y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (3 + y) (3 - y)}{3 + y} + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.7.1.2

$(A) (3 - y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = (A) (3 - y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A \cdot 3 + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.7.3

$A$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$1 = 3 \cdot A + A (- y) + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.7.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$1 = 3 \cdot A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.7.5

$3 - y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.5.1

공약수로 약분합니다.

$1 = 3 A - A y + \frac{(B) (3 + y) (3 - y)}{3 - y}$

단계 1.1.7.5.2

$(B) (3 + y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = 3 A - A y + (B) (3 + y)$

단계 1.1.7.6

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = 3 A - A y + B \cdot 3 + B y$

단계 1.1.7.7

$B$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$1 = 3 A - A y + 3 B + B y$

단계 1.1.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.8.1

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

단계 1.1.8.2

$B$ 와 $y$ 을 다시 정렬합니다.

$1 = 3 A - y A + 3 B + B y$

단계 1.1.8.3

$3 B$ 를 옮깁니다.

$1 = 3 A - y A + B y + 3 B$

단계 1.1.8.4

$3 A$ 를 옮깁니다.

$1 = - y A + B y + 3 A + 3 B$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $y$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = - 1 A + B$

단계 1.2.2

$y$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = 3 A + 3 B$

단계 1.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 3 A + 3 B$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$0 = - 1 A + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$- 1 A + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

단계 1.3.1.2

$- 1 A$ 을 $- A$ 로 바꿔 씁니다.

$- A + B = 0$

$1 = 3 A + 3 B$

단계 1.3.1.3

방정식의 양변에 $A$ 를 더합니다.

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

$B = A$

$1 = 3 A + 3 B$

단계 1.3.2

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $A$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.1

$1 = 3 A + 3 B$ 의 $B$ 를 모두 $A$ 로 바꿉니다.

$1 = 3 A + 3 (A)$

$B = A$

단계 1.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.2.2.1

$3 A$ 를 $3 A$ 에 더합니다.

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

$1 = 6 A$

$B = A$

단계 1.3.3

$1 = 6 A$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.1

$6 A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$6 A = 1$

$B = A$

단계 1.3.3.2

$6 A = 1$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.1

$6 A = 1$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

단계 1.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 A}{6} = \frac{1}{6}$

$B = A$

단계 1.3.3.2.2.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

$A = \frac{1}{6}$

$B = A$

단계 1.3.4

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $\frac{1}{6}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$B = A$ 의 $A$ 를 모두 $\frac{1}{6}$ 로 바꿉니다.

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

단계 1.3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = \frac{1}{6}$

단계 1.3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = \frac{1}{6}, A = \frac{1}{6}$

단계 1.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{3 + y} + \frac{B}{3 - y}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{6}}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 + y} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

단계 1.5.2

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{1}{3 + y}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{\frac{1}{6}}{3 - y}$

단계 1.5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3 - y}$

단계 1.5.4

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{1}{3 - y}$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} + \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 + y)} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

단계 3

$\frac{1}{6}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 + y} d y + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

단계 4

먼저 $u_{1} = 3 + y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{1} = 3 + y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$3 + y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [3 + y]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $3 + y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y]$

단계 4.1.3

$3$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

단계 4.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 4.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u_{1} = 3 + y$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 + 0$

단계 4.3

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 3$

단계 4.4

$u_{1} = 3 + y$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 + 3$

단계 4.5

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 6$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 6$

단계 4.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \int_{3}^{6} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

단계 5

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \int_{0}^{3} \frac{1}{6 (3 - y)} d y$

단계 6

$\frac{1}{6}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{0}^{3} \frac{1}{3 - y} d y$

단계 7

먼저 $u_{2} = 3 - y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - d y$ 이므로 $- d u_{2} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{2} = 3 - y$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 7.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 7.2

$u_{2} = 3 - y$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 - 0$

단계 7.3

$3$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 3$

단계 7.4

$u_{2} = 3 - y$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

단계 7.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 3 - 3$

단계 7.5.2

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

단계 7.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} \int_{3}^{0} - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 9

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- \int_{3}^{0} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 10

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} + \frac{1}{6} (- (\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}))$

단계 11

$\frac{1}{6}$ 와 $\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |)]_{3}^{6} - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$6$ , $3$ 일 때, $\ln (| u_{1} |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{\ln (| u_{2} |)]_{3}^{0}}{6}$

단계 12.2

$0$ , $3$ 일 때, $\ln (| u_{2} |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{6} ((\ln (| 6 |)) - \ln (| 3 |)) - \frac{(\ln (| 0 |)) - \ln (| 3 |)}{6}$

단계 12.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot \frac{6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

단계 12.3.2

$\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |))$ 와 $\frac{6}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6}{6} - \frac{\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |)}{6}$

단계 12.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) \cdot 6 - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

단계 12.3.4

$6$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

단계 12.3.5

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{6}{6} (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

단계 12.3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

단계 12.3.6

$\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (| 6 |) - \ln (| 3 |) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - (\ln (| 0 |) - \ln (| 3 |))}{6}$

단계 13.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |}) - \ln (\frac{| 0 |}{| 3 |})}{6}$

단계 13.3

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

단계 13.4

$\frac{\frac{| 6 |}{| 3 |}}{\frac{| 0 |}{| 3 |}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 0 |}{| 3 |}})}{6}$

단계 13.5

$\frac{| 0 |}{| 3 |}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} (1 \frac{| 3 |}{| 0 |}))}{6}$

단계 13.6

$\frac{| 3 |}{| 0 |}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 6 |}{| 3 |} \cdot \frac{| 3 |}{| 0 |})}{6}$

단계 13.7

$\frac{| 6 |}{| 3 |}$ 에 $\frac{| 3 |}{| 0 |}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 6 | | 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

단계 13.8

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 6 \cdot 3 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

단계 13.9

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 | | 0 |})}{6}$

단계 13.10

절댓값을 곱하려면 각 절댓값 내부의 항을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 3 \cdot 0 |})}{6}$

단계 13.11

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{| 0 |})}{6}$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

단계 14.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\ln (\frac{| 18 |}{0})}{6}$

단계 15

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음