미적분 예제

$\int_{0}^{2 π} 8 \cos (2 t) d t$

단계 1

$8$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int_{0}^{2 π} \cos (2 t) d t$

단계 2

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 2.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.2

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 2.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 2.4

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 (2 π)$

단계 2.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 4 π$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$8 \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

단계 3

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$8 \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

단계 5.2

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

단계 5.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u$

단계 6

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$4 (\sin (u)]_{0}^{4 π})$

단계 7

$4 π$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$4 (\sin (4 π) - \sin (0))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$4 (\sin (4 π) - 0)$

단계 8.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 (\sin (4 π) + 0)$

단계 8.3

$\sin (4 π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \sin (4 π)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$4 \sin (0)$

단계 9.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$4 \cdot 0$

단계 9.3

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$