미적분 예제

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

단계 1

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 1.2

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (2 π)$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{upper} = \cos (0)$

단계 1.5.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{1} - u^{2} d u$

단계 2

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{1} u^{2} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{1})$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{1})$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$1$ , $1$ 일 때, $\frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

단계 5.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (\frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

단계 5.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1 - 1}{3}$

단계 5.2.4

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{0}{3}$

단계 5.2.5

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.5.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3 (0)}{3}$

단계 5.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.5.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

단계 5.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

단계 5.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{0}{1}$

단계 5.2.5.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 0$

단계 5.2.6

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$