미적분 예제

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 4 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $4 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 1.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u = 4 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 4 + 0$

단계 1.3.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 1.4

$u = 4 + x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 4 + 4$

단계 1.5.2

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\sqrt[3]{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$8$ , $4$ 일 때, $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.4

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.5

$\frac{3}{4}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.6

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7

$48$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.7.1

$48$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.7.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.7.2.4

$12$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

단계 6.2.8

$4^{\frac{4}{3}}$ 와 $\frac{3}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

단계 6.2.9

$4^{\frac{4}{3}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

단계 6.2.10

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $4^{1}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

단계 6.2.11

지수를 더하여 $4^{\frac{4}{3}}$ 에 $4^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.11.1

$4^{- 1}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

단계 6.2.11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

단계 6.2.11.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

단계 6.2.11.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

단계 6.2.11.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

단계 6.2.11.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.11.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

단계 6.2.11.6.2

$- 3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

단계 6.2.12

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

단계 7.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

단계 7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

단계 7.3

$\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

단계 7.3.2

$\frac{- 3}{2}$ 와 $4^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

단계 7.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

소수 형태:

$3.61889842 \dots$

단계 9