미적분 예제

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

단계 2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

단계 3

먼저 $u = π x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = π d x$ 이므로 $\frac{1}{π} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = π x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$π x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [π x]$

단계 3.1.2

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$π \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$π \cdot 1$

단계 3.1.4

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$π$

단계 3.2

$u = π x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

단계 3.3

$π$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 1.57079632$

단계 3.4

$u = π x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

단계 3.5

$π$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1.57079632$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

단계 4

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{π}$ 을 묶습니다.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

단계 5

$\frac{1}{π}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

단계 6

$\frac{1}{π}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

단계 7

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

단계 8

$- (12 x^{2} - 3)$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

단계 9.2

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

단계 11

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

단계 13

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

단계 14

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

단계 15

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$1.57079632$ , $- 1.57079632$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

단계 15.2

$0.5$ , $- 0.5$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

단계 15.3

$0.5$ , $- 0.5$ 일 때, $3 x$ 값을 계산합니다.

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.1

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.2

$- 0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.5

$\frac{0.125}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.7

$0.125$ 를 $0.125$ 에 더합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.8

$- 12$ 와 $\frac{0.25}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.9

$- 12$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.10

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.10.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.4.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.10.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.11

$3$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

단계 15.4.12

$- 3$ 에 $- 0.5$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

단계 15.4.13

$1.5$ 를 $1.5$ 에 더합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

단계 15.4.14

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

단계 16.1.2

$\frac{4}{π}$ 와 $\sin (1.57079632)$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

단계 16.1.3

$\frac{4}{π}$ 와 $\sin (- 1.57079632)$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

단계 16.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.4.1

$\sin (1.57079632)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

단계 16.1.4.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

단계 16.1.4.3

$\sin (- 1.57079632)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

단계 16.1.4.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

단계 16.1.4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

단계 16.1.4.6

$- - \frac{4}{π}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1.4.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

단계 16.1.4.6.2

$\frac{4}{π}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

단계 16.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

단계 16.1.6

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{8}{π} + 2$

단계 16.2

$\frac{8}{π}$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4.54647908$