미적분 예제

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} - \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 2

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{5} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} u^{6}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{u^{3}} d u$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$u^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} {(u^{3})}^{- 1} d u$

단계 5.2

${(u^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{3 \cdot - 1} d u$

단계 5.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{- 3} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$u^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

단계 7.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

단계 7.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\sqrt{2}$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{6} u^{6}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

단계 7.2.2

$\sqrt{2}$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{2 u^{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3

간단히 합니다.

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단계 7.2.3.1

${\sqrt{2}}^{6}$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.2.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{6}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.1.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{3}{1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.1.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 8 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.3

$\frac{1}{6}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{8}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.4

$8$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2 (4)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.4.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 7.2.3.8.1

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.8.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.10.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.10.2

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.11

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{7}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{4 \cdot 6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.12

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.13

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.2.3.13.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.13.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.13.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.13.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.13.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.13.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.13.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.14

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

단계 7.2.3.15

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

단계 7.2.3.16

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

단계 7.2.3.17

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

단계 7.2.3.18

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.18.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

단계 7.2.3.18.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

단계 7.2.3.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7}{24} - \frac{- 1 + 2}{4}$

단계 7.2.3.20

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4}$

단계 7.2.3.21

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{6}$

단계 7.2.3.22

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $24$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.22.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{6}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6}$

단계 7.2.3.22.2

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{7}{24} - \frac{6}{24}$

단계 7.2.3.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{7 - 6}{24}$

단계 7.2.3.24

$7$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{24}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{24}$

소수 형태:

$0.041\overline{6}$

단계 9