미적분 예제

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

단계 1

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 1.2

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (1)$

단계 1.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $2$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

단계 1.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

단계 1.5.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{2} u d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{2} u^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2.3

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2.3.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

단계 3.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

단계 3.2.5

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

단계 3.2.6

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 + 0$

단계 3.2.7

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$