미적분 예제

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (2 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u_{1} = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 π$

단계 1.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

단계 1.6

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

$\sin^{2} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 9

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 10

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 10.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 10.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 (2 π)$

단계 10.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 4 π$

단계 10.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

단계 10.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 11

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

단계 13

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

단계 14

대입하여 간단히 합니다.

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단계 14.1

$2 π$ , $0$ 일 때, $u_{1}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

단계 14.2

$4 π$ , $0$ 일 때, $\sin (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

단계 14.3

$2 π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

단계 15.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

단계 15.3

$\sin (4 π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} \sin (4 π))$

단계 15.4

$\sin (4 π)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (4 π)}{2})$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (0)}{2})$

단계 16.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{0}{2})$

단계 16.2

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (2 π - 0)$

단계 16.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (2 π + 0)$

단계 16.4

$2 π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} (2 π)$

단계 16.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} (2 π)$

단계 16.5.2

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (π))$

단계 16.5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π)$

단계 16.5.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} π$

단계 16.6

$\frac{1}{2}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$\frac{π}{2}$

단계 17

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{2}$

소수 형태:

$1.57079632 \dots$