미적분 예제

$\ln (x^{4} + 27)$

단계 1

$\ln (x^{4} + 27)$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{4} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4} + 27$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 2.1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 2.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{4} + 27$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

단계 2.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

단계 2.1.2.3

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

단계 2.1.2.4

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

단계 2.1.2.4.2

$4$ 와 $\frac{1}{x^{4} + 27}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

단계 2.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 27}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{4} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.3.2

$x^{4} + 27$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.3.3

합의 법칙에 의해 $x^{4} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.3.5

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.6.1

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.3.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.4

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.4.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.5

$4$ 와 $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.4.1.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.4.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.4.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.4.1.1.3

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.4.1.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.4.1.3

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.4.1.4

$81$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.4.1.5

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.2.6.4.2

$12 x^{6}$ 에서 $16 x^{6}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

단계 3.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1

$- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ 에서 $- 4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

$- 4 x^{6}$ 에서 $- 4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

단계 3.3.1.1.2

$324 x^{2}$ 에서 $- 4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

단계 3.3.1.1.3

$- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ 에서 $- 4 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

단계 3.3.1.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

단계 3.3.1.3

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

단계 3.3.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x^{2}$ 이고 $b = 9$ 입니다.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

단계 3.3.1.5

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

단계 3.3.1.5.1.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1.2.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

단계 3.3.1.5.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

단계 3.3.1.5.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

단계 3.3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 3.3.3

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 3.3.3.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 3.3.3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 3.3.3.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 3.3.3.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 3.3.4

$x^{2} + 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$x^{2} + 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 9 = 0$

단계 3.3.4.2

$x^{2} + 9 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 9$

단계 3.3.4.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

단계 3.3.4.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.2.3.1

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

단계 3.3.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

단계 3.3.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

단계 3.3.4.2.3.4

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

단계 3.3.4.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 3$

단계 3.3.4.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \pm 3 i$

단계 3.3.4.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 i$

단계 3.3.4.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 i$

단계 3.3.4.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 i, - 3 i$

단계 3.3.5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 3.3.5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 3.3.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 3.3.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 3.3.7

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \ln (0 + 27)$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f (0) = \ln (27)$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $\ln (27)$ 입니다.

$\ln (27)$

단계 4.2

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, \ln (27))$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, \ln (27))$

단계 4.3

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

단계 4.3.2.2

$81$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f (- 3) = \ln (108)$

단계 4.3.2.3

최종 답은 $\ln (108)$ 입니다.

$\ln (108)$

단계 4.4

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 에 $- 3$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 3, \ln (108))$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 3, \ln (108))$

단계 4.5

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 에 $3$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

단계 4.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (3) = \ln (81 + 27)$

단계 4.5.2.2

$81$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f (3) = \ln (108)$

단계 4.5.2.3

최종 답은 $\ln (108)$ 입니다.

$\ln (108)$

단계 4.6

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ 에 $3$ 을 대입하여 구한 점은 $(3, \ln (108))$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(3, \ln (108))$

단계 4.7

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 3)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 3.1$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$- 4$ 에 $887.503681$ 을 곱합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.1.3

$- 3.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.1.4

$324$ 에 $9.61$ 을 곱합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.1.5

$- 3550.014724$ 를 $3113.64$ 에 더합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 3.1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$92.3521$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

단계 6.2.2.3

$119.3521$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

단계 6.2.3

$- 436.374724$ 을 $14244.92377441$ 로 나눕니다.

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

단계 6.2.4

최종 답은 $- 0.0306337$ 입니다.

$- 0.0306337$

단계 6.3

$- 3.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.0306337$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, - 3)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 3)$ 에서 감소함

단계 7

$(- 3, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{3}{2}$ 을 대입합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

$- \frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.1.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

$- 1$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.3

$\frac{3^{6}}{2^{6}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.4

$3$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.5

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.6

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.6.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.6.2

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.6.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.6.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.7

$- 1 (\frac{729}{16})$ 을 $- (\frac{729}{16})$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.8

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.8.1

$- \frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.8.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.9

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.10

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.11

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.12

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.13

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.13.1

$324$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.13.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.13.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.14

$81$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.15

공통 분모를 가지는 분수로 $729$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.16

$729$ 와 $\frac{16}{16}$ 을 묶습니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.18

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.18.1

$729$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.1.18.2

$- 729$ 를 $11664$ 에 더합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

$- \frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2.1.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2.4

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2.5

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

단계 7.2.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $27$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

단계 7.2.2.7

$27$ 와 $\frac{16}{16}$ 을 묶습니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

단계 7.2.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

단계 7.2.2.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.9.1

$27$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

단계 7.2.2.9.2

$81$ 를 $432$ 에 더합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

단계 7.2.2.10

$\frac{513}{16}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

단계 7.2.2.11

$513$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

단계 7.2.2.12

$16$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

단계 7.2.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

단계 7.2.4

$729$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.1

$10935$ 에서 $729$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

단계 7.2.4.2

$263169$ 에서 $729$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

단계 7.2.4.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

단계 7.2.4.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

단계 7.2.5

$16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.5.1

$256$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

단계 7.2.5.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

단계 7.2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

단계 7.2.6

$15$ 와 $\frac{16}{361}$ 을 묶습니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

단계 7.2.7

$15$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

단계 7.2.8

최종 답은 $\frac{240}{361}$ 입니다.

$\frac{240}{361}$

단계 7.3

$- \frac{3}{2}$ 에서의 이계도함수는 $0.66481994$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- 3, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- 3, 0)$ 에서 증가함

단계 8

$(0, 3)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 대입합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.2

$3$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.3

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.4.2

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.5

$- 1 (\frac{729}{16})$ 을 $- (\frac{729}{16})$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.6

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.7

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.8

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.9

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.9.1

$324$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.9.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.9.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.10

$81$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.11

공통 분모를 가지는 분수로 $729$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.12

$729$ 와 $\frac{16}{16}$ 을 묶습니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.14.1

$729$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.1.14.2

$- 729$ 를 $11664$ 에 더합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.2.2

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.2.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

단계 8.2.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $27$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

단계 8.2.2.5

$27$ 와 $\frac{16}{16}$ 을 묶습니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

단계 8.2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

단계 8.2.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.7.1

$27$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

단계 8.2.2.7.2

$81$ 를 $432$ 에 더합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

단계 8.2.2.8

$\frac{513}{16}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

단계 8.2.2.9

$513$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

단계 8.2.2.10

$16$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

단계 8.2.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

단계 8.2.4

$729$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.1

$10935$ 에서 $729$ 를 인수분해합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

단계 8.2.4.2

$263169$ 에서 $729$ 를 인수분해합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

단계 8.2.4.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

단계 8.2.4.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

단계 8.2.5

$16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.5.1

$256$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

단계 8.2.5.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

단계 8.2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

단계 8.2.6

$15$ 와 $\frac{16}{361}$ 을 묶습니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

단계 8.2.7

$15$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

단계 8.2.8

최종 답은 $\frac{240}{361}$ 입니다.

$\frac{240}{361}$

단계 8.3

$\frac{3}{2}$ 에서의 이계도함수는 $0.66481994$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(0, 3)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, 3)$ 에서 증가함

단계 9

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.1$ 을 대입합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$3.1$ 를 $6$ 승 합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.2.1.2

$- 4$ 에 $887.503681$ 을 곱합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.2.1.3

$3.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.2.1.4

$324$ 에 $9.61$ 을 곱합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.2.1.5

$- 3550.014724$ 를 $3113.64$ 에 더합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

단계 9.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$3.1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

단계 9.2.2.2

$92.3521$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

단계 9.2.2.3

$119.3521$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

단계 9.2.3

$- 436.374724$ 을 $14244.92377441$ 로 나눕니다.

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

단계 9.2.4

최종 답은 $- 0.0306337$ 입니다.

$- 0.0306337$

단계 9.3

$3.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.0306337$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 감소함

단계 10

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ 입니다.

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

단계 11