미적분 예제

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

단계 1

$5$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

단계 2

먼저 $u = 5 - 4 \cos (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 \sin (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 5 - 4 \cos (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$5 - 4 \cos (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $5 - 4 \cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

단계 2.1.2.2

$5$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 4 \cos (t)$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 입니다.

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 2.1.3.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$0 - 4 (- \sin (t))$

단계 2.1.3.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$0 + 4 \sin (t)$

단계 2.1.4

$0$ 를 $4 \sin (t)$ 에 더합니다.

$4 \sin (t)$

단계 2.2

$u = 5 - 4 \cos (t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

단계 2.3.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 5 - 4$

단계 2.3.2

$5$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u = 5 - 4 \cos (t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

단계 2.5.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

단계 2.5.1.3

$- 4 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

단계 2.5.1.3.2

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 5 + 4$

단계 2.5.2

$5$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 9$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

단계 3

$u^{\frac{1}{4}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{4}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ 가 됩니다.

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$9$ , $1$ 일 때, $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$\frac{4}{5}$ 와 $9^{\frac{5}{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

단계 7.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

단계 7.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

단계 8.2

조합합니다.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

단계 8.3

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$- \frac{4}{5}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

단계 8.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

단계 8.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

단계 8.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

단계 8.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

단계 8.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

단계 8.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

단계 8.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

단계 8.5.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

단계 8.5.4

$9^{\frac{5}{4}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

소수 형태:

$14.58845726 \dots$