미적분 예제

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) + \sin (7 x) d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{π} 7 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

단계 2

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (7 x) d x$

단계 4

먼저 $u = 7 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 7 d x$ 이므로 $\frac{1}{7} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 7 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$7 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [7 x]$

단계 4.1.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cdot 1$

단계 4.1.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7$

단계 4.2

$u = 7 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

단계 4.3

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = 7 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 7 π$

단계 4.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 7 π$

단계 4.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \sin (u) \frac{1}{7} d u$

단계 5

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{7 π} \frac{\sin (u)}{7} d u$

단계 6

$\frac{1}{7}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} \int_{0}^{7 π} \sin (u) d u$

단계 7

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$7 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$π$ , $0$ 일 때, $- \cos (x)$ 값을 계산합니다.

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} - \cos (u)]_{0}^{7 π}$

단계 8.2

$7 π$ , $0$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$7 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{7} ((- \cos (7 π)) + \cos (0))$

단계 8.3

괄호를 제거합니다.

$7 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + \cos (0))$

단계 9.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$7 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$7 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

단계 10.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$7 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

단계 10.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 (- - 1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

단계 10.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$7 (1 + 1) + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

단계 10.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$7 \cdot 2 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

단계 10.6

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (7 π) + 1)$

단계 10.7

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$14 + \frac{1}{7} (- \cos (π) + 1)$

단계 10.8

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$14 + \frac{1}{7} (- - \cos (0) + 1)$

단계 10.9

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$14 + \frac{1}{7} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

단계 10.10

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$14 + \frac{1}{7} (- - 1 + 1)$

단계 10.11

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$14 + \frac{1}{7} (1 + 1)$

단계 10.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$14 + \frac{1}{7} \cdot 2$

단계 10.13

$\frac{1}{7}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$14 + \frac{2}{7}$

단계 10.14

공통 분모를 가지는 분수로 $14$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$14 \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7}$

단계 10.15

$14$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{14 \cdot 7}{7} + \frac{2}{7}$

단계 10.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{14 \cdot 7 + 2}{7}$

단계 10.17

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.17.1

$14$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{98 + 2}{7}$

단계 10.17.2

$98$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{100}{7}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{100}{7}$

소수 형태:

$14.28571428 \dots$

대분수 형식:

$14 \frac{2}{7}$