미적분 예제

$\int 8 \sin^{12} (x) \cos (x) d x$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int \sin^{12} (x) \cos (x) d x$

단계 2

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$8 \int u^{12} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{12}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{13} u^{13}$ 가 됩니다.

$8 (\frac{1}{13} u^{13} + C)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$8 (\frac{1}{13} u^{13} + C)$ 을 $8 (\frac{1}{13}) u^{13} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$8 (\frac{1}{13}) u^{13} + C$

단계 4.2

$8$ 와 $\frac{1}{13}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{13} u^{13} + C$

단계 5

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{8}{13} \sin^{13} (x) + C$