미적분 예제

$\int_{1}^{2} {(4 - 3 x)}^{8} d x$

단계 1

먼저 $u = 4 - 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 3 d x$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 4 - 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$4 - 3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $4 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.1.2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 3 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 3$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 3$

단계 1.2

$u = 4 - 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 - 3 \cdot 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 4 - 3$

단계 1.3.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 4 - 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 - 3 \cdot 2$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 4 - 6$

단계 1.5.2

$4$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{- 2} u^{8} \frac{1}{- 3} d u$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{- 2} u^{8} (- \frac{1}{3}) d u$

단계 2.2

$u^{8}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{- 2} - \frac{u^{8}}{3} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{1}^{- 2} \frac{u^{8}}{3} d u$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{3} \int_{1}^{- 2} u^{8} d u)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{8}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{9} u^{9}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3} \frac{1}{9} u^{9}]_{1}^{- 2}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 2$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{9} u^{9}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{3} ((\frac{1}{9} {(- 2)}^{9}) - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

단계 6.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- 2$ 를 $9$ 승 합니다.

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{9} \cdot - 512 - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

단계 6.2.2

$\frac{1}{9}$ 와 $- 512$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{3} (\frac{- 512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

단계 6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1^{9})$

단계 6.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1)$

단계 6.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} (- \frac{512}{9} - \frac{1}{9})$

단계 6.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 512 - 1}{9}$

단계 6.2.7

$- 512$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 513}{9}$

단계 6.2.8

$- 513$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.8.1

$- 513$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9}$

단계 6.2.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.8.2.1

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9 (1)}$

단계 6.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot - 57}{9 \cdot 1}$

단계 6.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{- 57}{1}$

단계 6.2.8.2.4

$- 57$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{1}{3} \cdot - 57$

단계 6.2.9

$- 57$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$57 (\frac{1}{3})$

단계 6.2.10

$57$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{57}{3}$

단계 6.2.11

$57$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.11.1

$57$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 19}{3}$

단계 6.2.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.11.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 19}{3 (1)}$

단계 6.2.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1}$

단계 6.2.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{19}{1}$

단계 6.2.11.2.4

$19$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$19$

단계 7