미적분 예제

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{3} \frac{y^{5}}{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

단계 2

$\frac{1}{5}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int_{1}^{3} y^{5} d y + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $y^{5}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} y^{6}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{1}{12 y^{3}} d y$

단계 4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{12 y^{3}} d y$

단계 5

$\frac{1}{12}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{12}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - (\frac{1}{12} \int_{1}^{3} \frac{1}{y^{3}} d y)$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$y^{3}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} {(y^{3})}^{- 1} d y$

단계 6.2

${(y^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{3 \cdot - 1} d y$

단계 6.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} \int_{1}^{3} y^{- 3} d y$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $y^{- 3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{6} y^{6}]_{1}^{3} - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{6} y^{6}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

단계 8.2

$3$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$3$ 를 $6$ 승 합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.2

$\frac{1}{6}$ 와 $729$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.3

$729$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

$729$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{243}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.7.1

$\frac{243}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.7.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}) - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.9.1

$243$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{729 - 1}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.9.2

$729$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{728}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.10

$728$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.10.1

$728$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 (364)}{6} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.10.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{364}{3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.11

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{364}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{5 \cdot 3} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.12

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.14

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.15

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{9 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.16

$9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

단계 8.3.17

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 8.3.18

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

단계 8.3.19

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

단계 8.3.20

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $18$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.20.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

단계 8.3.20.2

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

단계 8.3.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 + 9}{18}$

단계 8.3.22

$- 1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{8}{18}$

단계 8.3.23

$8$ 및 $18$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.23.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 (4)}{18}$

단계 8.3.23.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.23.2.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

단계 8.3.23.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

단계 8.3.23.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{9}$

단계 8.3.24

$\frac{4}{9}$ 에 $\frac{1}{12}$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{4}{9 \cdot 12}$

단계 8.3.25

$9$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{4}{108}$

단계 8.3.26

$4$ 및 $108$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.26.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{4 (1)}{108}$

단계 8.3.26.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.26.2.1

$108$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

단계 8.3.26.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{364}{15} - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 27}$

단계 8.3.26.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{364}{15} - \frac{1}{27}$

단계 8.3.27

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{364}{15}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27}$

단계 8.3.28

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{27}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{364}{15} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

단계 8.3.29

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $135$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.29.1

$\frac{364}{15}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{364 \cdot 9}{15 \cdot 9} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

단계 8.3.29.2

$15$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{1}{27} \cdot \frac{5}{5}$

단계 8.3.29.3

$\frac{1}{27}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{27 \cdot 5}$

단계 8.3.29.4

$27$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{364 \cdot 9}{135} - \frac{5}{135}$

단계 8.3.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{364 \cdot 9 - 5}{135}$

단계 8.3.31

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.31.1

$364$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{3276 - 5}{135}$

단계 8.3.31.2

$3276$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{3271}{135}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3271}{135}$

소수 형태:

$24.2\overline{296}$

대분수 형식:

$24 \frac{31}{135}$

단계 10