미적분 예제

$\int_{1}^{3} 9 r^{3} \ln (r) d r$

단계 1

$9$ 은 $r$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 \int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

단계 2

$u = \ln (r)$ 이고 $d v = r^{3}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$9 (\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{4}$ 와 $r^{4}$ 을 묶습니다.

$9 (\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

단계 3.2

$\ln (r)$ 와 $\frac{r^{4}}{4}$ 을 묶습니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

단계 3.3

$\frac{1}{4}$ 와 $r^{4}$ 을 묶습니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4} \cdot \frac{1}{r} d r)$

단계 3.4

$\frac{r^{4}}{4}$ 에 $\frac{1}{r}$ 을 곱합니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{4 r} d r)$

단계 3.5

$r^{4}$ 및 $r$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$r^{4}$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{4 r} d r)$

단계 3.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$4 r$ 에서 $r$ 를 인수분해합니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

단계 3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 4} d r)$

단계 3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{4} d r)$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $r$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r))$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $r^{3}$ 를 $r$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} r^{4}$ 가 됩니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3})$

단계 6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{1}{4}$ 와 $r^{4}$ 을 묶습니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3})$

단계 6.1.2

$\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$9 (\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

단계 6.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{\frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3}}{4})$

단계 6.2.2

$3$ , $1$ 일 때, $\frac{r^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$9 ((\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

단계 6.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$9 (\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

단계 6.2.3.2

$\ln (3)$ 의 왼쪽으로 $81$ 이동하기

$9 (\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

단계 6.2.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

단계 6.2.3.4

$\ln (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{(\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

단계 6.2.3.5

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4}}{4})$

단계 6.2.3.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81}{4} - \frac{1}{4}}{4})$

단계 6.2.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{81 - 1}{4}}{4})$

단계 6.2.3.8

$81$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{80}{4}}{4})$

단계 6.2.3.9

$80$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.9.1

$80$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4}}{4})$

단계 6.2.3.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.9.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 (1)}}{4})$

단계 6.2.3.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}}{4})$

단계 6.2.3.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{\frac{20}{1}}{4})$

단계 6.2.3.9.2.4

$20$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{20}{4})$

단계 6.2.3.10

$20$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.10.1

$20$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4})$

단계 6.2.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.10.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 (1)})$

단계 6.2.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1})$

단계 6.2.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{5}{1})$

단계 6.2.3.10.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 1 \cdot 5)$

단계 6.2.3.11

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$9 (\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4})$

단계 7.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4})$

단계 7.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4})$

단계 7.3

$81 \ln (3)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 (- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4})$

단계 7.4

분배 법칙을 적용합니다.

$9 \cdot - 5 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

단계 7.5

$9$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 45 + 9 \frac{81 \ln (3)}{4}$

단계 7.6

$9 \frac{81 \ln (3)}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$9$ 와 $\frac{81 \ln (3)}{4}$ 을 묶습니다.

$- 45 + \frac{9 (81 \ln (3))}{4}$

단계 7.6.2

$81$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- 45 + \frac{729 \ln (3)}{4}$

소수 형태:

$155.22208960 \dots$