미적분 예제

$\int_{2}^{4} {(x^{2} + 2)}^{3} x d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x^{2} + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2} + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 1.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u = x^{2} + 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2^{2} + 2$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{lower} = 4 + 2$

단계 1.3.2

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 6$

단계 1.4

$u = x^{2} + 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4^{2} + 2$

단계 1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 16 + 2$

단계 1.5.2

$16$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 18$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 18$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{6}^{18} u^{3} \frac{1}{2} d u$

단계 2

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{6}^{18} \frac{u^{3}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{6}^{18} u^{3} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{6}^{18}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$18$ , $6$ 일 때, $\frac{1}{4} u^{4}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 18^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$18$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 104976 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

단계 5.2.2

$\frac{1}{4}$ 와 $104976$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{104976}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

단계 5.2.3

$104976$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$104976$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

단계 5.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

단계 5.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 26244}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

단계 5.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{26244}{1} - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

단계 5.2.3.2.4

$26244$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 6^{4})$

단계 5.2.4

$6$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (26244 - \frac{1}{4} \cdot 1296)$

단계 5.2.5

$1296$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (26244 - 1296 (\frac{1}{4}))$

단계 5.2.6

$- 1296$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 1296}{4})$

단계 5.2.7

$- 1296$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.1

$- 1296$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4})$

단계 5.2.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.7.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 (1)})$

단계 5.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{4 \cdot - 324}{4 \cdot 1})$

단계 5.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (26244 + \frac{- 324}{1})$

단계 5.2.7.2.4

$- 324$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (26244 - 324)$

단계 5.2.8

$26244$ 에서 $324$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot 25920$

단계 5.2.9

$\frac{1}{2}$ 와 $25920$ 을 묶습니다.

$\frac{25920}{2}$

단계 5.2.10

$25920$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.10.1

$25920$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 12960}{2}$

단계 5.2.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 12960}{2 (1)}$

단계 5.2.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 12960}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{12960}{1}$

단계 5.2.10.2.4

$12960$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$12960$

단계 6