미적분 예제

$\int_{2}^{5} 2 + 2 t + 3 t^{2} d t$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{2}^{5} 2 d t + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

단계 2

상수 규칙을 적용합니다.

$2 t]_{2}^{5} + \int_{2}^{5} 2 t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

단계 3

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 t]_{2}^{5} + 2 \int_{2}^{5} t d t + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + \int_{2}^{5} 3 t^{2} d t$

단계 6

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 \int_{2}^{5} t^{2} d t$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} t^{3}$ 가 됩니다.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{2}^{5})$

단계 8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{3}$ 와 $t^{3}$ 을 묶습니다.

$2 t]_{2}^{5} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

단계 8.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$5$ , $2$ 일 때, $2 t$ 값을 계산합니다.

$(2 \cdot 5) - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{2}^{5}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

단계 8.2.2

$5$ , $2$ 일 때, $\frac{t^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{2}^{5})$

단계 8.2.3

$5$ , $2$ 일 때, $\frac{t^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.1

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 - 2 \cdot 2 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$10 - 4 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.3

$10$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$6 + 2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.4

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{4}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.6

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.6.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - \frac{2}{1}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.6.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 1 \cdot 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.9

$- 2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$6 + 2 (\frac{25}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 + 2 \frac{25 - 2 \cdot 2}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.11.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 + 2 \frac{25 - 4}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.11.2

$25$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$6 + 2 (\frac{21}{2}) + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.12

$2$ 와 $\frac{21}{2}$ 을 묶습니다.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.13

$2$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{42}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.14

$42$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.14.1

$42$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.14.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.14.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 (1)} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 + \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 + \frac{21}{1} + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.14.2.4

$21$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 + 21 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.15

$6$ 를 $21$ 에 더합니다.

$27 + 3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.16

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{2^{3}}{3})$

단계 8.2.4.17

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 + 3 (\frac{125}{3} - \frac{8}{3})$

단계 8.2.4.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$27 + 3 \frac{125 - 8}{3}$

단계 8.2.4.19

$125$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$27 + 3 (\frac{117}{3})$

단계 8.2.4.20

$117$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.20.1

$117$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3}$

단계 8.2.4.20.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.4.20.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 (1)}$

단계 8.2.4.20.2.2

공약수로 약분합니다.

$27 + 3 \frac{3 \cdot 39}{3 \cdot 1}$

단계 8.2.4.20.2.3

수식을 다시 씁니다.

$27 + 3 (\frac{39}{1})$

단계 8.2.4.20.2.4

$39$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$27 + 3 \cdot 39$

단계 8.2.4.21

$3$ 에 $39$ 을 곱합니다.

$27 + 117$

단계 8.2.4.22

$27$ 를 $117$ 에 더합니다.

$144$

단계 9