미적분 예제

$\int x^{3} e^{4 x^{4}} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u_{1} e^{4 {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 을 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int u_{1} e^{4 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $u_{1}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u_{1}}{2} e^{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 2.3

$\frac{u_{1}}{2}$ 와 $e^{4 {u_{1}}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int u_{1} e^{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = 4 {u_{1}}^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 8 u_{1} d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{8} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u_{2} = 4 {u_{1}}^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$4 {u_{1}}^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{2}]$

단계 4.1.2

$4$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $4 {u_{1}}^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

단계 4.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (2 u_{1})$

단계 4.1.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 u_{1}$

단계 4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{8} d u_{2}$

단계 5

$e^{u_{2}}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{8} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{8}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{8} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 7.2

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

단계 8

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{16} (e^{u_{2}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{1}{16} e^{u_{2}} + C$

단계 10

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 10.1

$u_{2}$ 를 모두 $4 {u_{1}}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{16} e^{4 {u_{1}}^{2}} + C$

단계 10.2

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{16} e^{4 {(x^{2})}^{2}} + C$