미적분 예제

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} + 4 y^{- 3} d y$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{- 1} 7 y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

단계 2

$7$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 \int_{- 2}^{- 1} y^{3} d y + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $y^{3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} y^{4}$ 가 됩니다.

$7 (\frac{1}{4} y^{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 와 $y^{4}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} 4 y^{- 3} d y$

단계 5

$4$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 \int_{- 2}^{- 1} y^{- 3} d y$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $y^{- 3}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ 가 됩니다.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{- 2}^{- 1})$

단계 7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$y^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{y^{- 2}}{2}]_{- 2}^{- 1})$

단계 7.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$7 (\frac{y^{4}}{4}]_{- 2}^{- 1}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

단계 7.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$- 1$ , $- 2$ 일 때, $\frac{y^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2 y^{2}}]_{- 2}^{- 1})$

단계 7.2.2

$- 1$ , $- 2$ 일 때, $- \frac{1}{2 y^{2}}$ 값을 계산합니다.

$7 ((\frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.2

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.3

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.3.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.3.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$7 (\frac{1}{4} - \frac{4}{1}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.3.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$7 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{1}{4} - 4) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 4$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.6

$- 4$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$7 \frac{1 - 4 \cdot 4}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.3.8.1

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$7 \frac{1 - 16}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.8.2

$1$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$7 (\frac{- 15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$7 (- \frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.10

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- 7 (\frac{15}{4}) + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.11

$- 7$ 와 $\frac{15}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 7 \cdot 15}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.12

$- 7$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{- 105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{105}{4} + 4 ((- \frac{1}{2 {(- 1)}^{2}}) + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.14

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.15

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 {(- 2)}^{2}})$

단계 7.2.3.16

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4})$

단계 7.2.3.17

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{8})$

단계 7.2.3.18

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8})$

단계 7.2.3.19

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.19.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8})$

단계 7.2.3.19.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{4}{8} + \frac{1}{8})$

단계 7.2.3.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{105}{4} + 4 \frac{- 4 + 1}{8}$

단계 7.2.3.21

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (\frac{- 3}{8})$

단계 7.2.3.22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{105}{4} + 4 (- \frac{3}{8})$

단계 7.2.3.23

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} - 4 (\frac{3}{8})$

단계 7.2.3.24

$- 4$ 와 $\frac{3}{8}$ 을 묶습니다.

$- \frac{105}{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

단계 7.2.3.25

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} + \frac{- 12}{8}$

단계 7.2.3.26

$- 12$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.26.1

$- 12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 (- 3)}{8}$

단계 7.2.3.26.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.26.2.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

단계 7.2.3.26.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{105}{4} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

단계 7.2.3.26.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{105}{4} + \frac{- 3}{2}$

단계 7.2.3.27

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2}$

단계 7.2.3.28

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 7.2.3.29

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.29.1

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

단계 7.2.3.29.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{105}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

단계 7.2.3.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 105 - 3 \cdot 2}{4}$

단계 7.2.3.31

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.3.31.1

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 105 - 6}{4}$

단계 7.2.3.31.2

$- 105$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{- 111}{4}$

단계 7.2.3.32

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{111}{4}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{111}{4}$

소수 형태:

$- 27.75$

대분수 형식:

$- 27 \frac{3}{4}$

단계 9