미적분 예제

$\int 12 x^{- 3} + e^{6 x} d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 12 x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

단계 2

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \int x^{- 3} d x + \int e^{6 x} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 가 됩니다.

$12 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int e^{6 x} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$12 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int e^{6 x} d x$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{6 x} d x$

단계 5

먼저 $u = 6 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 6 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$6 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

단계 5.1.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1$

단계 5.1.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{6} d u$

단계 6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{6} d u$

단계 7

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u} d u$

단계 8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$12 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

간단히 합니다.

$\frac{- 6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

단계 9.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{u} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$