미적분 예제

$\int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

단계 1

$12$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

단계 2

먼저 $u = 3 t^{2} - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 6 t d t$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = t d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 3 t^{2} - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$3 t^{2} - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $3 t^{2} - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$3$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $3 t^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

단계 2.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$6 t + 0$

단계 2.1.4.2

$6 t$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 t$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

단계 3

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

단계 4

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{6}$ 와 $12$ 을 묶습니다.

$\frac{12}{6} \int u^{3} d u$

단계 5.2

$12$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} \int u^{3} d u$

단계 5.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \int u^{3} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ 을 $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4} u^{4} + C$

단계 7.2.2

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + C$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

단계 7.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

단계 7.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} u^{4} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $3 t^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C$