미적분 예제

$\int 15 {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

단계 1

$15$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $15$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$15 \int {(y^{6} + 4 y^{3} + 3)}^{3} (2 y^{5} + 4 y^{2}) d y$

단계 2

먼저 $u_{1} = y^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 y d y$ 이므로 $\frac{1}{2 y} d u_{1} = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = y^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$y^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$15 \int {({\sqrt{u_{1}}}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ 을 ${u_{1}}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$15 \int {({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{6}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.1.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$15 \int {({u_{1}}^{\frac{3}{1}} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.1.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 {\sqrt{u_{1}}}^{3} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.2

${\sqrt{u_{1}}}^{3}$ 을 $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({\sqrt{u_{1}}}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.3

${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ 을 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{4}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.3.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{\frac{2}{1}} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 3.3.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$15 \int {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{3} ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = (3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{2} = ({u_{1}}^{2} + 2 \sqrt{u_{1}}) d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3]$

단계 4.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [4 \sqrt{{u_{1}}^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{{u_{1}}^{3}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{d}{d u_{1}} [4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.2

$4$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $4 {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.3

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.7.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 (\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.8

$\frac{3}{2}$ 와 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 4 \frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.9

$4$ 와 $\frac{3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{4 (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.10

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.11

$12 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.12.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.12.2

공약수로 약분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{2 (6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$3 {u_{1}}^{2} + \frac{6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.3.12.4

$6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [3]$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$3$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + 0$

단계 4.1.4.2

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$

단계 4.1.5

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 를 근호식으로 바꿉니다.

$3 {u_{1}}^{2} + 6 \sqrt{u_{1}}$

단계 4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$15 \int {u_{2}}^{3} \frac{1}{3} d u_{2}$

단계 5

${u_{2}}^{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$15 \int \frac{{u_{2}}^{3}}{3} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$15 (\frac{1}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{3}$ 와 $15$ 을 묶습니다.

$\frac{15}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

단계 7.2

$15$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 5}{3} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 5}{3 (1)} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{1} \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

단계 7.2.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

단계 8

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{3}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$5 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C)$ 을 $5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$5 (\frac{1}{4}) {u_{2}}^{4} + C$

단계 9.2

$5$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{4} {u_{2}}^{4} + C$

단계 10

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 10.1

$u_{2}$ 를 모두 ${u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{4} {({u_{1}}^{3} + 4 \sqrt{{u_{1}}^{3}} + 3)}^{4} + C$

단계 10.2

$u_{1}$ 를 모두 $y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{4} {({(y^{2})}^{3} + 4 \sqrt{{(y^{2})}^{3}} + 3)}^{4} + C$