미적분 예제

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

단계 1

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

단계 3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

단계 4

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

단계 5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

단계 6

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 6.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 6.2

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (1)$

단계 6.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 6.4

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (e)$

단계 6.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 6.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$e$ , $1$ 일 때, $\ln (| x |)$ 값을 계산합니다.

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

단계 9.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

단계 9.3.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

단계 9.3.3

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

단계 9.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 9.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

단계 9.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

단계 9.3.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

단계 9.3.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

단계 9.3.5

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

단계 10

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$e$ 은 약 $2.71828182$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

단계 11.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

단계 11.3

$e$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$1 - \frac{1}{2}$

단계 12.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 - 1}{2}$

단계 12.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.5$