미적분 예제

$\int_{1}^{e} 6 x^{2} \ln (x) d x$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 \int_{1}^{e} x^{2} \ln (x) d x$

단계 2

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{2}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$6 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

단계 3.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

단계 3.3

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

단계 3.4

$\frac{x^{3}}{3}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

단계 3.5

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

단계 3.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

단계 3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

단계 3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{3} d x)$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{e} x^{2} d x))$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e})$

단계 6

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e})$

단계 6.1.2

$\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{e} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

단계 6.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$e$ , $1$ 일 때, $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{e}}{3})$

단계 6.2.2

$e$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$6 ((\frac{\ln (e) e^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

단계 6.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

단계 6.2.3.2

$\ln (1)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{e^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

단계 6.2.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

단계 6.2.3.4

$\frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3}}{3}))$

단계 6.2.3.5

조합합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 (\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.6

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.7.1

공약수로 약분합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{3 \frac{e^{3}}{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.7.2

수식을 다시 씁니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + 3 (- \frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.8

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 3 (\frac{1}{3})}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.9

$- 3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 3}{3}}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.10

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.10.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3}}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} + \frac{- 1}{1}}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.10.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{3 \cdot 3})$

단계 6.2.3.11

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9})$

단계 6.2.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 6.2.3.13

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $9$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.13.1

$\frac{\ln (e) e^{3}}{3}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 6.2.3.13.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3}{9} - \frac{e^{3} - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 6.2.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\frac{\ln (e) e^{3} \cdot 3 - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 6.2.3.15

$\ln (e) e^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$6 (\frac{3 \ln (e) e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.1

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$6 (\frac{3 \cdot 1 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 7.1.1.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{3 e^{3} - (e^{3} - 1)}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 7.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} - - 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 7.1.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{3 e^{3} - e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 7.1.1.5

$3 e^{3}$ 에서 $e^{3}$ 을 뺍니다.

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{\ln (1)}{3})$

단계 7.1.2

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - \frac{0}{3})$

단계 7.1.3

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} - 0)$

단계 7.1.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{2 e^{3} + 1}{9} + 0)$

단계 7.2

$\frac{2 e^{3} + 1}{9}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

단계 7.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (2) \frac{2 e^{3} + 1}{9}$

단계 7.3.2

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

단계 7.3.3

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot 2 \frac{2 e^{3} + 1}{3 \cdot 3}$

단계 7.3.4

수식을 다시 씁니다.

$2 \frac{2 e^{3} + 1}{3}$

단계 7.4

$2$ 와 $\frac{2 e^{3} + 1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2 (2 e^{3} + 1)}{3}$

소수 형태:

$27.44738256 \dots$