미적분 예제

$\int 1 + \cos^{2} (t) d t$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d t + \int \cos^{2} (t) d t$

단계 2

상수 규칙을 적용합니다.

$t + C + \int \cos^{2} (t) d t$

단계 3

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$t + C + \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$t + C + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$t + C + \frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

단계 7

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 7.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 7.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 8

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

단계 10

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$t + C + \frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

단계 11

간단히 합니다.

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 t)$ 을 묶습니다.

$t + \frac{1}{2} (t + \frac{\sin (2 t)}{2}) + C$

단계 13.2

분배 법칙을 적용합니다.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

단계 13.3

$\frac{1}{2}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$t + \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2} + C$

단계 13.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 t)}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.4.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sin (2 t)}{2}$ 을 곱합니다.

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{2 \cdot 2} + C$

단계 13.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$t + \frac{t}{2} + \frac{\sin (2 t)}{4} + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$t + \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin (2 t) + C$