미적분 예제

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{20 - 8 x - x^{2}} d x$

단계 1

제곱식을 완성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$20$ 를 옮깁니다.

$- 8 x - x^{2} + 20$

단계 1.1.2

$- 8 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} - 8 x + 20$

단계 1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 1$

$b = - 8$

$c = 20$

단계 1.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 1}$

단계 1.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 1}$

단계 1.4.2.1.2

$\frac{- 4}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$d = - 1 \cdot - 4$

단계 1.4.2.2

$- 1 \cdot - 4$ 을 $- - 4$ 로 바꿔 씁니다.

$d = - - 4$

단계 1.4.2.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$d = 4$

단계 1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 20 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 1.5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.2.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 20 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

단계 1.5.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 20 - \frac{64}{- 4}$

단계 1.5.2.1.3

$64$ 을 $- 4$ 로 나눕니다.

$e = 20 - - 16$

단계 1.5.2.1.4

$- 1$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$e = 20 + 16$

단계 1.5.2.2

$20$ 를 $16$ 에 더합니다.

$e = 36$

단계 1.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- {(x + 4)}^{2} + 36$ 에 대입합니다.

$\int_{- 10}^{2} \sqrt{- {(x + 4)}^{2} + 36} d x$

단계 2

먼저 $u_{1} = x + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = x + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 2.1.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2

$u_{1} = x + 4$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 10 + 4$

단계 2.3

$- 10$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{lower} = - 6$

단계 2.4

$u_{1} = x + 4$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 + 4$

단계 2.5

$2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 6$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = 6$

단계 2.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{- 6}^{6} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 36} d u_{1}$

단계 3

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $u_{1} = 6 \sin (t)$ 라고 하면 $d u_{1} = 6 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $6 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36} (6 \cos (t)) d t$

단계 4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\sqrt{- {(6 \sin (t))}^{2} + 36}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$6 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (6^{2} \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.1.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (36 \sin^{2} (t)) + 36} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.1.3

$36$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 36 \sin^{2} (t) + 36} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.2

$- 36 \sin^{2} (t)$ 와 $36$ 을 다시 정렬합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.3

$36$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.4

$- 36 \sin^{2} (t)$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.5

$36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $36$ 를 인수분해합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{36 \cos^{2} (t)} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.7

$36 \cos^{2} (t)$ 을 ${(6 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}} (6 \cos (t)) d t$

단계 4.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 6 \cos (t) (6 \cos (t)) d t$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$6$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos (t) \cos (t) d t$

단계 4.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

단계 4.2.3

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

단계 4.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

단계 4.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 36 \cos^{2} (t) d t$

단계 5

$36$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $36$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

단계 6

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$36 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$36 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 와 $36$ 을 묶습니다.

$\frac{36}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 8.2

$36$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$36$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 18}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{18}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 8.2.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$18 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

단계 11

먼저 $u_{2} = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{2} = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 11.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 11.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 11.2

$u_{2} = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

단계 11.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$- \frac{π}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

단계 11.3.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

단계 11.3.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = - π$

단계 11.4

$u_{2} = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 11.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 11.5.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π$

단계 11.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

단계 11.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 12

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

단계 14

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

단계 15

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ 을 묶습니다.

$18 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

단계 16

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$\frac{π}{2}$ , $- \frac{π}{2}$ 일 때, $t$ 값을 계산합니다.

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

단계 16.2

$π$ , $- π$ 일 때, $\sin (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$18 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

단계 16.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$18 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

단계 16.3.2

$π$ 를 $π$ 에 더합니다.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

단계 16.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$18 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

단계 16.3.3.2

$π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$18 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$18 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$18 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

단계 17.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$18 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

단계 17.1.3

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$18 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

단계 17.1.4

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$18 (π + \frac{0 - 0}{2})$

단계 17.1.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$18 (π + \frac{0 + 0}{2})$

단계 17.1.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$18 (π + \frac{0}{2})$

단계 17.2

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$18 (π + 0)$

단계 18

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$18 π$

단계 19

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$18 π$

소수 형태:

$56.54866776 \dots$

단계 20