미적분 예제

$\int_{1}^{7} t^{3} - 10 t^{2} + 27 t - 18 d t$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{7} t^{3} d t + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $t^{3}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} t^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} - 10 t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

단계 3

$- 10$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 10$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 \int_{1}^{7} t^{2} d t + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $t^{2}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} t^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 와 $t^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} 27 t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

단계 6

$27$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $27$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 \int_{1}^{7} t d t + \int_{1}^{7} - 18 d t$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{1}{2} t^{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + \int_{1}^{7} - 18 d t$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7}) + - 18 t]_{1}^{7}$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{7}$ 와 $- 18 t]_{1}^{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} t^{4} - 18 t]_{1}^{7} - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

단계 10.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$7$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{4} t^{4} - 18 t$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{t^{3}}{3}]_{1}^{7}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

단계 10.2.2

$7$ , $1$ 일 때, $\frac{t^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{t^{2}}{2}]_{1}^{7})$

단계 10.2.3

$7$ , $1$ 일 때, $\frac{t^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{4} \cdot 7^{4} - 18 \cdot 7) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.1

$7$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 2401 - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.2

$\frac{1}{4}$ 와 $2401$ 을 묶습니다.

$\frac{2401}{4} - 18 \cdot 7 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.3

$- 18$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{2401}{4} - 126 - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 126$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{2401}{4} - 126 \cdot \frac{4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.5

$- 126$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{2401}{4} + \frac{- 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2401 - 126 \cdot 4}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.7.1

$- 126$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2401 - 504}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.7.2

$2401$ 에서 $504$ 을 뺍니다.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.9

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot 1) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.10

$- 18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- 18$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} - 18 \cdot \frac{4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.12

$- 18$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1897}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{- 18 \cdot 4}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 18 \cdot 4}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.14.1

$- 18$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1897}{4} - \frac{1 - 72}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.14.2

$1$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$\frac{1897}{4} - \frac{- 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1897}{4} - - \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.16

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1897}{4} + 1 (\frac{71}{4}) - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.17

$\frac{71}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1897}{4} + \frac{71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1897 + 71}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.19

$1897$ 를 $71$ 에 더합니다.

$\frac{1968}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.20

$1968$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.20.1

$1968$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 492}{4} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.20.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.20.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 492}{4 (1)} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.20.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 492}{4 \cdot 1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.20.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{492}{1} - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.20.2.4

$492$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$492 - 10 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.21

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.22

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$492 - 10 (\frac{343}{3} - \frac{1}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$492 - 10 \frac{343 - 1}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.24

$343$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$492 - 10 (\frac{342}{3}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.25

$342$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.25.1

$342$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.25.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.25.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 (1)} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.25.2.2

공약수로 약분합니다.

$492 - 10 \frac{3 \cdot 114}{3 \cdot 1} + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.25.2.3

수식을 다시 씁니다.

$492 - 10 (\frac{114}{1}) + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.25.2.4

$114$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$492 - 10 \cdot 114 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.26

$- 10$ 에 $114$ 을 곱합니다.

$492 - 1140 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.27

$492$ 에서 $1140$ 을 뺍니다.

$- 648 + 27 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.28

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

단계 10.2.4.29

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 648 + 27 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2})$

단계 10.2.4.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 648 + 27 \frac{49 - 1}{2}$

단계 10.2.4.31

$49$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 648 + 27 (\frac{48}{2})$

단계 10.2.4.32

$48$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.32.1

$48$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2}$

단계 10.2.4.32.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.32.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)}$

단계 10.2.4.32.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 648 + 27 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}$

단계 10.2.4.32.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 648 + 27 (\frac{24}{1})$

단계 10.2.4.32.2.4

$24$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 648 + 27 \cdot 24$

단계 10.2.4.33

$27$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$- 648 + 648$

단계 10.2.4.34

$- 648$ 를 $648$ 에 더합니다.

$0$

단계 11