미적분 예제

$\int_{1}^{5} {(7 - \frac{4}{y})}^{2} d y$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(7 - \frac{4}{y})}^{2}$ 을 $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{5} (7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y}) d y$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(7 - \frac{4}{y}) (7 - \frac{4}{y})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{1}^{5} 7 (7 - \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} (7 - \frac{4}{y}) d y$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{1}^{5} 7 \cdot 7 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$7$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 + 7 (- \frac{4}{y}) - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.2

$7 (- \frac{4}{y})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.2.2

$- 7$ 와 $\frac{4}{y}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.2.3

$- 7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} \cdot 7 - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.4

$- \frac{4}{y} \cdot 7$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.4.1

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - 7 \frac{4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.4.2

$- 7$ 와 $\frac{4}{y}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 7 \cdot 4}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.4.3

$- 7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} + \frac{- 28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} - \frac{4}{y} (- \frac{4}{y}) d y$

단계 1.3.1.6

$- \frac{4}{y} (- \frac{4}{y})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + 1 \frac{4}{y} \frac{4}{y} d y$

단계 1.3.1.6.2

$\frac{4}{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4}{y} \cdot \frac{4}{y} d y$

단계 1.3.1.6.3

$\frac{4}{y}$ 에 $\frac{4}{y}$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{4 \cdot 4}{y \cdot y} d y$

단계 1.3.1.6.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y \cdot y} d y$

단계 1.3.1.6.5

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y} d y$

단계 1.3.1.6.6

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1} y^{1}} d y$

단계 1.3.1.6.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{1 + 1}} d y$

단계 1.3.1.6.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{28}{y} - \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 1.3.2

$- \frac{28}{y}$ 에서 $\frac{28}{y}$ 을 뺍니다.

$\int_{1}^{5} 49 - 2 \frac{28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$- 2 \frac{28}{y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$- 2$ 와 $\frac{28}{y}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 2 \cdot 28}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 1.4.1.2

$- 2$ 에 $28$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{5} 49 + \frac{- 56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 1.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{5} 49 - \frac{56}{y} + \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{5} 49 d y + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$49 y]_{1}^{5} + \int_{1}^{5} - \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 4

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$49 y]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{56}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 5

$56$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $56$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$49 y]_{1}^{5} - (56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 6

$56$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$49 y]_{1}^{5} - 56 \int_{1}^{5} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 7

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} \frac{16}{y^{2}} d y$

단계 8

$16$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} \frac{1}{y^{2}} d y$

단계 9

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$y^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} {(y^{2})}^{- 1} d y$

단계 9.2

${(y^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{2 \cdot - 1} d y$

단계 9.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 \int_{1}^{5} y^{- 2} d y$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $y^{- 2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $- y^{- 1}$ 가 됩니다.

$49 y]_{1}^{5} - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

단계 11

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$5$ , $1$ 일 때, $49 y$ 값을 계산합니다.

$(49 \cdot 5) - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| y |)]_{1}^{5}) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

단계 11.1.2

$5$ , $1$ 일 때, $\ln (| y |)$ 값을 계산합니다.

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- y^{- 1}]_{1}^{5})$

단계 11.1.3

$5$ , $1$ 일 때, $- y^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$49 \cdot 5 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 11.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.4.1

$49$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$245 - 49 \cdot 1 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 11.1.4.2

$- 49$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$245 - 49 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 11.1.4.3

$245$ 에서 $49$ 을 뺍니다.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 11.1.4.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

단계 11.1.4.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + 1)$

단계 11.1.4.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

단계 11.1.4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 \frac{- 1 + 5}{5}$

단계 11.1.4.8

$- 1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + 16 (\frac{4}{5})$

단계 11.1.4.9

$16$ 와 $\frac{4}{5}$ 을 묶습니다.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{16 \cdot 4}{5}$

단계 11.1.4.10

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$196 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{64}{5}$

단계 11.1.4.11

공통 분모를 가지는 분수로 $196$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$196 \cdot \frac{5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

단계 11.1.4.12

$196$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{196 \cdot 5}{5} + \frac{64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

단계 11.1.4.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{196 \cdot 5 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

단계 11.1.4.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.4.14.1

$196$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{980 + 64}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

단계 11.1.4.14.2

$980$ 를 $64$ 에 더합니다.

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

단계 11.1.4.15

공통 분모를 가지는 분수로 $- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1044}{5} - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{5}{5}$

단계 11.1.4.16

$- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1044}{5} + \frac{- 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

단계 11.1.4.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1044 - 56 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 5}{5}$

단계 11.1.4.18

$5$ 에 $- 56$ 을 곱합니다.

$\frac{1044 - 280 (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))}{5}$

단계 11.2

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{5}$

단계 11.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $5$ 사이의 거리는 $5$ 입니다.

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{| 1 |})}{5}$

단계 11.3.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{1044 - 280 \ln (\frac{5}{1})}{5}$

단계 11.3.3

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1044 - 280 \ln (5)}{5}$

소수 형태:

$118.67147690 \dots$

단계 13