미적분 예제

$4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y) = 5 \sin (y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (5 \sin (y))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x \cos (y) + 7 \sin (2 y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x \cos (y)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x \cos (y)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x \cos (y)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (y)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$4 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$4 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 (x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.2.6

$\cos (y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [7 \sin (2 y)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 \sin (2 y)$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ 입니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

단계 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 y$ 로 바꿉니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y])$

단계 2.3.2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y])$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 y$ 로 바꿉니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y])$

단계 2.3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y]))$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 7 (\cos (2 y) (2 y'))$

단계 2.3.5

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$4 (x (- \sin (y) y') + \cos (y)) + 14 \cos (2 y) y'$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x (- \sin (y) y')) + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

단계 2.4.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 x \sin (y) y' + 4 \cos (y) + 14 \cos (2 y) y'$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y)$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \sin (y)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

단계 3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$5 (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \cos (y) y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 \cos (2 y) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' + 4 \cos (y) = 5 \cos (y) y'$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $4 \cos (y)$ 를 뺍니다.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = 5 \cos (y) y' - 4 \cos (y)$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $5 \cos (y) y'$ 를 뺍니다.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

단계 5.4

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- 4 x \sin (y) y' + 14 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y'$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 x \sin (y) y' + (14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

단계 5.4.1.1.2

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 x \sin (y) y' + (14 + 14 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

단계 5.4.1.1.3

$- 2$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$- 4 x \sin (y) y' + (14 - 28 \sin^{2} (y)) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

단계 5.4.1.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y' = - 4 \cos (y)$

단계 5.4.1.2

$- 4 x \sin (y) y' + 14 y' - 28 \sin^{2} (y) y' - 5 \cos (y) y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

단계 5.5

$y'$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$- 4 x y' \sin (y) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1.1

$- 4 x y' \sin (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 4 x \sin (y)) + 14 y' - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

단계 5.5.1.2

$14 y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 - 28 y' \sin^{2} (y) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

단계 5.5.1.3

$- 28 y' \sin^{2} (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) - 5 y' \cos (y) = - 4 \cos (y)$

단계 5.5.1.4

$- 5 y' \cos (y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14 + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

단계 5.5.1.5

$y' (- 4 x \sin (y)) + y' \cdot 14$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

단계 5.5.1.6

$y' (- 4 x \sin (y) + 14) + y' (- 28 \sin^{2} (y))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

단계 5.5.1.7

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y)) + y' (- 5 \cos (y))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$

단계 5.5.2

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ 의 각 항을 $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)) = - 4 \cos (y)$ 의 각 항을 $- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1

$- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y))}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)} = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 4 x \sin (y) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3.2

$- 4 x \sin (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) + 14 - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3.3

$14$ 을 $- 1 (- 14)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3.4

$- (4 x \sin (y)) - 1 (- 14)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - 28 \sin^{2} (y) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3.5

$- 28 \sin^{2} (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3.6

$- (4 x \sin (y) - 14) - (28 \sin^{2} (y))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3.7

$- 5 \cos (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))}$

단계 5.5.2.3.8

$- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y)) - (5 \cos (y))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

단계 5.5.2.3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.3.9.1

$- (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ 을 $- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{4 \cos (y)}{- 1 (4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y))}$

단계 5.5.2.3.9.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - - \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3.9.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y' = 1 \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

단계 5.5.2.3.9.4

$\frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \cos (y)}{4 x \sin (y) - 14 + 28 \sin^{2} (y) + 5 \cos (y)}$