미적분 예제

$\int - 7 x e^{4 x - 2} d x$

단계 1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 7 \int x e^{4 x - 2} d x$

단계 2

$u = x$ 이고 $d v = e^{4 x - 2}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- 7 (x (\frac{1}{4} e^{4 x - 2}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x - 2}$ 을 묶습니다.

$- 7 (x \frac{e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

단계 3.2

$x$ 와 $\frac{e^{4 x - 2}}{4}$ 을 묶습니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x - 2} d x)$

단계 3.3

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x - 2}$ 을 묶습니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \int \frac{e^{4 x - 2}}{4} d x)$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x - 2} d x))$

단계 5

먼저 $u = 4 x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 4 x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$4 x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1.4.1

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$4 + 0$

단계 5.1.4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

단계 6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

단계 7

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

단계 8.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

단계 9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ 을 $- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- 7 (\frac{1}{4} x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- 7 (\frac{x}{4} e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

단계 10.2.2

$\frac{x}{4}$ 와 $e^{4 x - 2}$ 을 묶습니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

단계 10.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{16} e^{u}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot \frac{4}{4}) + C$

단계 10.2.4

$- \frac{1}{16} e^{u}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- 7 (\frac{x e^{4 x - 2}}{4} + \frac{- \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4}) + C$

단계 10.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{1}{16} e^{u} \cdot 4}{4} + C$

단계 10.2.6

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{16} \cdot 4}{4} + C$

단계 10.2.7

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - 4 \frac{e^{u}}{16}}{4} + C$

단계 10.2.8

$- 4$ 와 $\frac{e^{u}}{16}$ 을 묶습니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- 4 e^{u}}{16}}{4} + C$

단계 10.2.9

$- 4$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.9.1

$- 4 e^{u}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{16}}{4} + C$

단계 10.2.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.9.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 (4)}}{4} + C$

단계 10.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{4 (- e^{u})}{4 \cdot 4}}{4} + C$

단계 10.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} + \frac{- e^{u}}{4}}{4} + C$

단계 10.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

단계 10.2.11

공통 분모를 가지는 분수로 $x e^{4 x - 2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- 7 \frac{x e^{4 x - 2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

단계 10.2.12

$x e^{4 x - 2}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{u}}{4}}{4} + C$

단계 10.2.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 7 \frac{\frac{x e^{4 x - 2} \cdot 4 - e^{u}}{4}}{4} + C$

단계 10.2.14

$x e^{4 x - 2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- 7 \frac{\frac{4 \cdot (x e^{4 x - 2}) - e^{u}}{4}}{4} + C$

단계 10.2.15

$\frac{\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}}{4}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- 7 (\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4} \cdot \frac{1}{4}) + C$

단계 10.2.16

$\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{4 \cdot 4} + C$

단계 10.2.17

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 7 \frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16} + C$

단계 10.2.18

$- 7$ 와 $\frac{4 x e^{4 x - 2} - e^{u}}{16}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

단계 10.2.19

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{u})}{16} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $4 x - 2$ 로 바꿉니다.

$- \frac{7 (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2})}{16} + C$

단계 12

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{7}{16} (4 x e^{4 x - 2} - e^{4 x - 2}) + C$