미적분 예제

$\int \sin (9 t) + \sin (2 t) d t$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \sin (9 t) d t + \int \sin (2 t) d t$

단계 2

먼저 $u_{1} = 9 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 9 d t$ 이므로 $\frac{1}{9} d u_{1} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{1} = 9 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$9 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [9 t]$

단계 2.1.2

$9$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $9 t$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 \cdot 1$

단계 2.1.4

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9$

단계 2.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

단계 3

$\sin (u_{1})$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin (u_{1})}{9} d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

단계 4

$\frac{1}{9}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (2 t) d t$

단계 5

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{1})$ 입니다.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (2 t) d t$

단계 6

먼저 $u_{2} = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u_{2} = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 6.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 7

$\sin (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{2} d u_{2}$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 9

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{9} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2}) + C)$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

간단히 합니다.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} + \frac{1}{2} (- \cos (u_{2})) + C$

단계 10.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (u_{2})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (u_{1})}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u_{1}$ 를 모두 $9 t$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (u_{2})}{2} + C$

단계 11.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\cos (9 t)}{9} - \frac{\cos (2 t)}{2} + C$

단계 12

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{9} \cos (9 t) - \frac{1}{2} \cos (2 t) + C$