미적분 예제

$\int 9 x \sin (2 x) d x$

단계 1

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 \int x \sin (2 x) d x$

단계 2

$u = x$ 이고 $d v = \sin (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$9 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$9 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 3.2

$x$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 3.3

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 5.2

$\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

단계 7

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 7.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 7.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 7.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 8

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

단계 10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

단계 11

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ 을 $9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

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단계 12.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$9 (- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

단계 12.2.2

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{x}{2}$ 을 묶습니다.

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

단계 12.2.3

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (u)$ 을 묶습니다.

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$9 (- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{\cos (2 x) x}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$9 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}) + C$

단계 14.2

항을 다시 정렬합니다.

$9 (- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x)) + C$