미적분 예제

$\int_{p}^{- p} \sqrt{\sqrt[3]{x}} d x$

단계 1

$\sqrt{\sqrt[3]{x}}$ 을 $\sqrt[6]{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

단계 2

적분을 $c$ 이 $p$ 과 $- p$ 사이의 값인 두 개의 적분으로 분할합니다.

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

단계 3

합의 법칙에 의해 $\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x + \int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ 를 $p$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d p} [\int_{p}^{c} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

단계 4

적분의 경계값을 바꿉니다.

$\frac{d}{d p} [- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x] + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

단계 5

미적분학의 기본정리에 의해 $p$ 에 대해 $- \int_{c}^{p} \sqrt[6]{x} d x$ 를 미분합니다.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x]$

단계 6

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $p$ 에 대해 $\int_{c}^{- p} \sqrt[6]{x} d x$ 를 미분합니다.

$- \sqrt[6]{p} + \frac{d}{d p} [- p] \sqrt[6]{- p}$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 은 $p$ 에 대해 일정하므로 $p$ 에 대한 $- p$ 의 미분은 $- \frac{d}{d p} [p]$ 입니다.

$- \sqrt[6]{p} - \frac{d}{d p} [p] \sqrt[6]{- p}$

단계 7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ 는 $n p^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sqrt[6]{p} - 1 \cdot 1 \sqrt[6]{- p}$

단계 7.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \sqrt[6]{p} - \sqrt[6]{- p}$