미적분 예제

$\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$

단계 1

적분을 $c$ 이 $x$ 과 $x^{2}$ 사이의 값인 두 개의 적분으로 분할합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t + \int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

단계 3

적분의 경계값을 바꿉니다.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

단계 4

미적분학의 기본정리에 의해 $x$ 에 대해 $- \int_{c}^{x} e^{t^{7}} d t$ 를 미분합니다.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t]$

단계 5

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $\int_{c}^{x^{2}} e^{t^{7}} d t$ 를 미분합니다.

$- e^{x^{7}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] e^{{(x^{2})}^{7}}$

단계 6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{{(x^{2})}^{7}}$

단계 6.2

${(x^{2})}^{7}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{2 \cdot 7}}$

단계 6.2.2

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$- e^{x^{7}} + 2 x e^{x^{14}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$

단계 7.2

$2 e^{x^{14}} x - e^{x^{7}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{x^{14}} - e^{x^{7}}$