미적분 예제

$\int_{\sqrt[3]{x}}^{2 π} \cos (t^{3}) d t$

단계 1

적분의 경계값을 바꿉니다.

$\frac{d}{d x} [- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t]$

단계 2

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $- \int_{2 π}^{\sqrt[3]{x}} \cos (t^{3}) d t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 3.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 9.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({\sqrt[3]{x}}^{3}))$

단계 10

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 10.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3}))$

단계 10.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{1}{3} \cdot 3}))$

단계 10.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

단계 10.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{\frac{3}{3}}))$

단계 10.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x^{1}))$

단계 10.5

간단히 합니다.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (- \cos (x))$

단계 11

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (x)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$