미적분 예제

$\int \frac{3 x - 3}{{(x - 2 x + 1)}^{2}} d x$

단계 1

$x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\int \frac{3 x - 3}{{(- x + 1)}^{2}} d x$

단계 2

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$3 x - 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x) - 3}{{(- x + 1)}^{2}}$

단계 2.1.1.2

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x) + 3 (- 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

단계 2.1.1.3

$3 (x) + 3 (- 1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x - 1)}{{(- x + 1)}^{2}}$

단계 2.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}}$

단계 2.1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$

단계 2.1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 ${(- x + 1)}^{2}$ 입니다.

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

단계 2.1.5

${(- x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (x - 1) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

단계 2.1.5.2

$3 (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 (x - 1) = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

단계 2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x + 3 \cdot - 1 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

단계 2.1.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 x - 3 = \frac{(A) {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

단계 2.1.8

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1

${(- x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.1.1

공약수로 약분합니다.

$3 x - 3 = \frac{A {(- x + 1)}^{2}}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

단계 2.1.8.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x - 3 = A + \frac{(B) {(- x + 1)}^{2}}{- x + 1}$

단계 2.1.8.2

${(- x + 1)}^{2}$ 및 $- x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.2.1

$(B) {(- x + 1)}^{2}$ 에서 $- x + 1$ 를 인수분해합니다.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{- x + 1}$

단계 2.1.8.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.8.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

단계 2.1.8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 x - 3 = A + \frac{(- x + 1) (B (- x + 1))}{(- x + 1) \cdot 1}$

단계 2.1.8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 x - 3 = A + \frac{B (- x + 1)}{1}$

단계 2.1.8.2.2.4

$B (- x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 x - 3 = A + B (- x + 1)$

단계 2.1.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x - 3 = A + B (- x) + B \cdot 1$

단계 2.1.8.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 x - 3 = A - B x + B \cdot 1$

단계 2.1.8.5

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x - 3 = A - B x + B$

단계 2.1.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.9.1

$B$ 를 옮깁니다.

$3 x - 3 = A - x B + B$

단계 2.1.9.2

$A$ 와 $- x B$ 을 다시 정렬합니다.

$3 x - 3 = - x B + A + B$

단계 2.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$3 = - 1 B$

단계 2.2.2

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 3 = A + B$

단계 2.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

$3 = - 1 B$

$- 3 = A + B$

단계 2.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$3 = - 1 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$- 1 B = 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 B = 3$

$- 3 = A + B$

단계 2.3.1.2

$- 1 B = 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.1

$- 1 B = 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 1 B}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

단계 2.3.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{B}{1} = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

단계 2.3.1.2.2.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

$B = \frac{3}{- 1}$

$- 3 = A + B$

단계 2.3.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.2.3.1

$3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

$B = - 3$

$- 3 = A + B$

단계 2.3.2

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $- 3$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$- 3 = A + B$ 의 $B$ 를 모두 $- 3$ 로 바꿉니다.

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

단계 2.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

$- 3 = A - 3$

$B = - 3$

단계 2.3.3

$- 3 = A - 3$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$A - 3 = - 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A - 3 = - 3$

$B = - 3$

단계 2.3.3.2

$A$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$A = - 3 + 3$

$B = - 3$

단계 2.3.3.2.2

$- 3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

$A = 0$

$B = - 3$

단계 2.3.4

연립방정식을 풉니다.

$A = 0 B = - 3$

단계 2.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = 0, B = - 3$

단계 2.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{B}{- x + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{0}{{(- x + 1)}^{2}} + \frac{- 3}{- x + 1}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$0$ 을 ${(- x + 1)}^{2}$ 로 나눕니다.

$0 + \frac{- 3}{- x + 1}$

단계 2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - \frac{3}{- x + 1}$

단계 2.5.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$0 - \frac{3}{- (x) + 1}$

단계 2.5.4

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - \frac{3}{- (x) - 1 \cdot - 1}$

단계 2.5.5

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$0 - \frac{3}{- (x - 1)}$

단계 2.5.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.6.1

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - \frac{3}{- 1 (x - 1)}$

단계 2.5.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 + \frac{3}{x - 1}$

단계 2.5.6.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 1 (\frac{3}{x - 1})$

단계 2.5.6.4

$\frac{3}{x - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{3}{x - 1}$

단계 2.5.7

수식에서 0을 제거합니다.

$\int \frac{3}{x - 1} d x$

단계 3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int \frac{1}{x - 1} d x$

단계 4

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 4.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int \frac{1}{u} d u$

단계 5

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$3 (\ln (| u |) + C)$

단계 6

간단히 합니다.

$3 \ln (| u |) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$3 \ln (| x - 1 |) + C$