미적분 예제

$\int \frac{1 + x}{1 - x} d x$

단계 1

$1$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{x + 1}{1 - x} d x$

단계 2

$1$ 와 $- x$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{x + 1}{- x + 1} d x$

단계 3

$x + 1$ 을 $- x + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x$

$1$

단계 3.2

피제수 $x$ 의 고차항을 제수 $- x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$1$

단계 3.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$1$
				+	$x$	-	$1$

단계 3.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$1$
				-	$x$	+	$1$

단계 3.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$1$
				-	$x$	+	$1$
						+	$2$

단계 3.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int - 1 + \frac{2}{- x + 1} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 1 d x + \int \frac{2}{- x + 1} d x$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$- x + C + \int \frac{2}{- x + 1} d x$

단계 6

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- x + C + 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

단계 7

먼저 $u = - x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = - x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1}$

단계 7.1.2

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 1$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- x + C + 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- x + C + 2 \int - \frac{1}{u} d u$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- x + C + 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

단계 10

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- x + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

단계 11

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$- x + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

단계 12

간단히 합니다.

$- x - 2 \ln (| u |) + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $- x + 1$ 로 바꿉니다.

$- x - 2 \ln (| - x + 1 |) + C$