미적분 예제

$\int \frac{1}{x (1 + x^{2})} d x$

단계 1

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

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단계 1.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.2

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (1 + x^{2})$ 입니다.

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x (1 + x^{2}))}{x (1 + x^{2})} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.4

$1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.5.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.5.1.2

$A (1 + x^{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.5.3

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.5.4

$1 + x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$1 = A + A x^{2} + \frac{(B x + C) (x (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

단계 1.1.5.4.2

$(B x + C) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A + A x^{2} + (B x + C) (x)$

단계 1.1.5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A + A x^{2} + B x \cdot x + C x$

단계 1.1.5.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.5.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot x) + C x$

단계 1.1.5.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$1 = A + A x^{2} + B x^{2} + C x$

단계 1.1.6

$A$ 를 옮깁니다.

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

단계 1.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

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단계 1.2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 1.2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = C$

단계 1.2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A$

단계 1.2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

단계 1.3

연립방정식을 풉니다.

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단계 1.3.1

$C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

단계 1.3.2

$A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

단계 1.3.3

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

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단계 1.3.3.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

단계 1.3.3.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

단계 1.3.4

$0 = 1 + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.3.4.1

$1 + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

단계 1.3.4.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

단계 1.3.5

연립방정식을 풉니다.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

단계 1.3.6

모든 해를 나열합니다.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

단계 1.4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{1 + x^{2}}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{1 + x^{2}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{1 + x^{2}}$

단계 1.5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.5.2.1

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x} + \frac{- x + 0}{1 + x^{2}}$

단계 1.5.2.2

$- x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{1 + x^{2}}$

단계 1.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{x} - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 3

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

단계 5

먼저 $u = 1 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = 1 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$1 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 5.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 6.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (| x |) + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\ln (| x |) + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $1 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$