미적분 예제

$\int \frac{1}{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{3}{2} \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{3 \cos (t)}{2} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{3 \cos (t)}{2}$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{9 - 4 {(\frac{3}{2} \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ 와 $\sin (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 {(\frac{3 \sin (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.2

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$\frac{3 \sin (t)}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{{(3 \sin (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.2.2

$3 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{3^{2} \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 4 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.5.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 (- 1) \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 + 4 \cdot - 1 \frac{9 \sin^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 1 (9 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.6

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.2

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ 을 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} \sin (t) (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $\sin (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\frac{3 \sin (t)}{2} (3 \cos (t))} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.2.2

$3$ 와 $\frac{3 \sin (t)}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\frac{3 (3 \sin (t))}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.2.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t)}{2} \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.2.4

$\frac{9 \sin (t)}{2}$ 와 $\cos (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.2.5

$\frac{9 \sin (t) \cos (t)}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int 1 \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.2.6

$\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)} \cdot \frac{3 \cos (t)}{2} d t$

단계 2.2.7

$\frac{2}{9 \sin (t) \cos (t)}$ 에 $\frac{3 \cos (t)}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2 (3 \cos (t))}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.8

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{6 \cos (t)}{9 \sin (t) \cos (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.9

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\int \frac{6 \cos (t)}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

단계 2.2.10

$6$ 및 $18$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.1

$6 \cos (t)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{6 (\cos (t))}{18 \sin (t) \cos (t)} d t$

단계 2.2.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.2.1

$18 \sin (t) \cos (t)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{6 (\cos (t))}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

단계 2.2.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{6 \cos (t)}{6 (3 \sin (t) \cos (t))} d t$

단계 2.2.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

단계 2.2.11

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.11.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

단계 2.2.11.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{3 \sin (t)} d t$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

단계 4

$\frac{1}{\sin (t)}$ 을 $\csc (t)$ 로 변환합니다.

$\frac{1}{3} \int \csc (t) d t$

단계 5

$\csc (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

단계 6

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

단계 7

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{2 x}{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2 x}{3})) - \cot (\arcsin (\frac{2 x}{3})) |) + C$

단계 8

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{2}{3} x)) - \cot (\arcsin (\frac{2}{3} x)) |) + C$