미적분 예제

$\int e^{t} \cot (e^{t} - 4) d t$

단계 1

먼저 $u = e^{t} - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = e^{t} d t$ 이므로 $\frac{1}{e^{t}} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = e^{t} - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$e^{t} - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [e^{t} - 4]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $e^{t} - 4$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 4]$

단계 1.1.3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{t} + \frac{d}{d t} [- 4]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 4$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$e^{t} + 0$

단계 1.1.4.2

$e^{t}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{t}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \cot (u) d u$

단계 2

$\cot (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sin (u) |)$ 입니다.

$\ln (| \sin (u) |) + C$

단계 3

$u$ 를 모두 $e^{t} - 4$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \sin (e^{t} - 4) |) + C$