미적분 예제

$\int \frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{\ln (1 + x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 1.4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 1.4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 1.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 1 + x^{\frac{1}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$1 + x^{\frac{1}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

단계 2.1.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 2.1.3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.1.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 2.1.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

단계 2.1.3.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

단계 2.1.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.1.4.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.1.4.2.2

$0$ 를 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 2 \ln (u) d u$

단계 3

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \ln (u) d u$

단계 4

$w = \ln (u)$ 이고 $dv = 1$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$2 (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$u$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

단계 5.2

$u$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\ln (u) u - \int d u)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (\ln (u) u - (u + C))$

단계 7

간단히 합니다.

$2 (\ln (u) u - u) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $1 + x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - (1 + x^{\frac{1}{2}})) + C$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 9.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 1 - x^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (\ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 9.4

간단히 합니다.

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단계 9.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 + 2 (- x^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 9.4.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \ln (1 + x^{\frac{1}{2}}) (1 + x^{\frac{1}{2}}) - 2 - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$