미적분 예제

$\int \frac{\sin (\frac{5}{x})}{x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{5}{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ 이므로 $1 d u = - \frac{5}{x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{5}{x}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{5}{x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

단계 1.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5}{x}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.1.3

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.1.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (- x^{- 2})$

단계 1.1.5

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 x^{- 2}$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 5 \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.1.6.2

항을 묶습니다.

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단계 1.1.6.2.1

$- 5$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5}{x^{2}}$

단계 1.1.6.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{x^{2}}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - \frac{1}{5} \sin (u) d u$

단계 2

$- \frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{5} \int \sin (u) d u$

단계 3

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u) + C)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

간단히 합니다.

$- \frac{1}{5} (- \cos (u)) + C$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{5}) \cos (u) + C$

단계 4.2.2

$\frac{1}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} \cos (u) + C$

단계 4.2.3

$\frac{1}{5}$ 와 $\cos (u)$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (u)}{5} + C$

단계 5

$u$ 를 모두 $\frac{5}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{\cos (\frac{5}{x})}{5} + C$

단계 6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{5} \cos (\frac{5}{x}) + C$