미적분 예제

$\int e^{2 x} \sin (e^{x}) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{u_{1}}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

단계 2.2

$\frac{e^{u_{1}}}{2}$ 와 $\sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})$ 을 묶습니다.

$\int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}})}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ 이므로 $2 d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{u_{1}}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

단계 4.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $\frac{u_{1}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 4.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

단계 5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) \cdot 2 d u_{2}$

단계 5.3

$e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} \int 2 e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

단계 6

$2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (2 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

단계 7.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

단계 7.3

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 u_{2}} \sin (e^{u_{2}}) d u_{2}$

단계 8

먼저 $u_{3} = e^{u_{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = e^{u_{2}} d u_{2}$ 이므로 $\frac{1}{e^{u_{2}}} d u_{3} = d u_{2}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u_{3} = e^{u_{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$e^{u_{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}]$

단계 8.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{2}}$

단계 8.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u_{3} \sin (u_{3}) d u_{3}$

단계 9

$w = u_{3}$ 이고 $dv = \sin (u_{3})$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - \int - \cos (u_{3}) d u_{3}$

단계 10

$- 1$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) - - \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + 1 \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

단계 11.2

$\int \cos (u_{3}) d u_{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \int \cos (u_{3}) d u_{3}$

단계 12

$\cos (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{3})$ 입니다.

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$

단계 13

$u_{3} (- \cos (u_{3})) + \sin (u_{3}) + C$ 을 $- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- u_{3} \cos (u_{3}) + \sin (u_{3}) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 14.1

$u_{3}$ 를 모두 $e^{u_{2}}$ 로 바꿉니다.

$- e^{u_{2}} \cos (e^{u_{2}}) + \sin (e^{u_{2}}) + C$

단계 14.2

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{u_{1}}{2}$ 로 바꿉니다.

$- e^{\frac{u_{1}}{2}} \cos (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + \sin (e^{\frac{u_{1}}{2}}) + C$

단계 14.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 x}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

공약수로 약분합니다.

$- e^{\frac{2 x}{2}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

단계 15.1.2

수식을 다시 씁니다.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

단계 15.2

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 x}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

공약수로 약분합니다.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{2 x}{2}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

단계 15.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

단계 15.3

공약수를 소거하여 수식 $\frac{2 x}{2}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

공약수로 약분합니다.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{2 x}{2}}) + C$

단계 15.3.2

수식을 다시 씁니다.

$- e^{\frac{x}{1}} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

단계 15.4

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- e^{x} \cos (e^{\frac{x}{1}}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

단계 15.5

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{\frac{x}{1}}) + C$

단계 15.6

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- e^{x} \cos (e^{x}) + \sin (e^{x}) + C$