미적분 예제

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 3 \csc (2 x) d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x$

단계 2

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

단계 2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

단계 2.3.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

단계 2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

단계 2.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

단계 2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) \frac{1}{2} d u$

단계 3

$\csc (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u)}{2} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u)$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u) d u$

단계 6

$\csc (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ 입니다.

$\frac{3}{2} \ln (| \csc (u) - \cot (u) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

단계 7

$\frac{π}{2}$ , $\frac{π}{4}$ 일 때, $\ln (| \csc (u) - \cot (u) |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{2} (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

단계 8.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |))$

단계 8.3

$\csc (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{2}$ 입니다.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |))$

단계 8.4

$\cot (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

단계 8.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

단계 8.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |))$

단계 8.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |))$

단계 8.8

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{3}{2} \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 8.9

$\frac{3}{2}$ 와 $\ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{3 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |})}{2}$

단계 9.2

$\sqrt{2} - 1$ 은 약 $0.41421356$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1})}{2}$

소수 형태:

$1.32206038 \dots$