미적분 예제

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

단계 1

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 1.2

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

단계 1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 1.4

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

단계 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1

$1$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 일 때, $\frac{1}{4} u^{4}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

단계 4.1.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

${\sqrt{2}}^{4}$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.1.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

단계 4.1.2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

단계 4.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

단계 4.1.2.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

단계 4.1.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.2.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

단계 4.1.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

단계 4.1.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

단계 4.1.2.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

단계 4.1.2.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

단계 4.1.3

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

단계 4.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.1.4.1

$- \frac{1}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

단계 4.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

단계 4.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

단계 4.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $16$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.3.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

단계 4.3.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 - 1}{16}$

단계 4.5

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{16}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3}{16}$

소수 형태:

$0.1875$