미적분 예제

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- d u = \sin (x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + \cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$0 - \sin (x)$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $\sin (x)$ 을 뺍니다.

$- \sin (x)$

단계 1.2

$u = 1 + \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

단계 1.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

단계 1.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

단계 1.3.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

단계 1.4

$u = 1 + \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 1 + 0$

단계 1.5.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$1$ , $\frac{3}{2}$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 6.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 7.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

소수 형태:

$0.44948974 \dots$