미적분 예제

$\frac{3^{x}}{\log_{3} (x)}$

단계 1

$f (x) = 3^{x}$ , $g (x) = \log_{3} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\log_{3} (x) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [\log_{3} (x)]}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 3

$\log_{3} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x \ln (3)}$ 입니다.

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 4

$\frac{1}{x \ln (3)}$ 와 $3^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\log_{3} (x) (3^{x} \ln (3)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.1.2

$\ln (3) \log_{3} (x) \cdot 3^{x} - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$3^{x} \ln (3) \log_{3} (x) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ 에서 $3^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1.1

$3^{x} \ln (3) \log_{3} (x)$ 에서 $3^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) - \frac{3^{x}}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.1.2

$- \frac{3^{x}}{x \ln (3)}$ 에서 $3^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.1.3

$3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x)) + 3^{x} (- \frac{1}{x \ln (3)})$ 에서 $3^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (3) \log_{3} (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{3^{x} (\ln (3) \log_{3} (x) \cdot \frac{x \ln (3)}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.3

$\ln (3) \log_{3} (x)$ 와 $\frac{x \ln (3)}{x \ln (3)}$ 을 묶습니다.

$\frac{3^{x} (\frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))}{x \ln (3)} - \frac{1}{x \ln (3)})}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3^{x} \frac{\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.5.1

$\ln (3) \log_{3} (x) (x \ln (3))$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.5.1.1

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.5.1.2

$\ln (3)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.5.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x {\ln (3)}^{1 + 1}) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.5.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3^{x} \frac{\log_{3} (x) (x \ln^{2} (3)) - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.2.5.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3^{x} \frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.3

$3^{x}$ 와 $\frac{\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1}{x \ln (3)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)}}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3)} \cdot \frac{1}{{\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.5

조합합니다.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1) \cdot 1}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.6

$3^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$

단계 5.7

$\frac{3^{x} (\ln^{2} (3) \log_{3} (x) x - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3^{x} (x \ln^{2} (3) \log_{3} (x) - 1)}{x \ln (3) {\log_{3}}^{2} (x)}$